Количество и решение квадратного уравнения путем нахождения дискриминанта и применения квадратного корня — максимально подробное объяснение

Уравнение — это математическое выражение, в котором используются переменные и знаки арифметических операций. Одним из наиболее распространенных типов уравнений являются квадратные уравнения. Квадратное уравнение обычно имеет вид ax²+bx+c=0, где a, b и c — коэффициенты, а x — переменная, которую нужно найти.

В данной статье мы рассмотрим уравнение x²+5x+7=0. Чтобы найти все решения этого уравнения, существует специальная формула, называемая формулой дискриминанта. Дискриминант — это число, которое определяет количество решений квадратного уравнения.

Формула дискриминанта для уравнения ax²+bx+c=0 выглядит следующим образом: D=b²-4ac. В нашем уравнении, где a=1, b=5 и c=7, мы можем вычислить дискриминант: D=5²-4(1)(7).

Количество решений уравнения x²+5x+7=0

Дискриминант квадратного уравнения ax²+bx+c=0, где a, b и c — числа, определяется по формуле D=b²-4ac.

В случае уравнения x²+5x+7=0, a=1, b=5, c=7. Подставляя значения в формулу для дискриминанта, получим:

D=5²-4*1*7=25-28=-3.

Значение дискриминанта отрицательно, что означает отсутствие вещественных решений.

Таким образом, уравнение x²+5x+7=0 не имеет вещественных решений.

Основные понятия и определения

Решение квадратного уравнения — это значение переменной x, при котором уравнение выполняется.

Квадратное уравнение может иметь следующие типы решений:

1. Один корень: уравнение имеет только одно решение.
2. Два различных корня: уравнение имеет два различных решения.
3. Два совпадающих корня: уравнение имеет два одинаковых решения.
4. Комплексные корни: уравнение имеет комплексные (несуществующие на числовой прямой) решения.

Метод решения квадратного уравнения — это алгоритм, который позволяет найти все корни уравнения. Один из самых подробных методов решения квадратного уравнения — это формула дискриминанта.

Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле D = b² — 4ac. Затем, в зависимости от значения дискриминанта, можно определить тип решений уравнения.

Формула дискриминанта

Для решения квадратного уравнения вида x² + px + q = 0 существует формула дискриминанта:

Дискриминант D вычисляется по формуле:

D = p² — 4q

Дискриминант является ключевым показателем при решении уравнения, так как определяет количество и тип решений:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень (корень кратности 2).
3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней, но имеет два комплексно-сопряженных корня.

По формуле дискриминанта можно легко определить количество и характер решений квадратного уравнения. Это помогает разработать наиболее эффективный метод решения и позволяет избежать ненужных вычислений в случаях, когда уравнение не имеет действительных корней.

Самый подробный метод решения уравнения

Используя формулу дискриминанта, найдем его значение: $D=b^2-4ac$. В нашем случае, $D=5^2-4\cdot1\cdot7=25-28=-3$.

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Однако, мы можем найти комплексные корни, используя формулы Виета:

Таким образом, уравнение $x^2+5x+7=0$ имеет два комплексных корня: $\frac{-5}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}$ и $\frac{-5}{2}-\frac{\sqrt{3}i}{2}$.

Самый подробный метод решения уравнения x² + 5x + 7 = 0

Для начала, найдем дискриминант уравнения, который вычисляется по формуле:

D = b² — 4ac

Где a, b и c — коэффициенты при x², x и свободном члене соответственно.

В нашем случае, a = 1, b = 5 и c = 7. Подставляя данные значения в формулу, получаем:

D = 5² — 4 * 1 * 7 = 25 — 28 = -3

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Однако, можно найти комплексные корни, используя формулу:

x_1,2 = (-b ± √D) / (2a)

Подставляя в формулу значения коэффициентов и дискриминанта, получаем:

x_1,2 = (-5 ± √-3) / (2 * 1)

x_1,2 = (-5 ± √-3) / 2

x_1,2 = (-5 ± √3i) / 2

Где i — мнимая единица. Таким образом, комплексные корни уравнения равны:

Таким образом, самым подробным методом решения уравнения x² + 5x + 7 = 0 является метод дискриминанта, который позволяет найти комплексные корни уравнения.

Шаг 1: Вычисление дискриминанта

В данном случае, уравнение x² + 5x + 7 = 0 имеет коэффициенты a = 1, b = 5 и c = 7. Подставим эти значения в формулу для вычисления дискриминанта:

D = (5)² — 4(1)(7) = 25 — 28 = -3

Полученный результат, D = -3, отрицательный. Это означает, что уравнение x² + 5x + 7 = 0 не имеет вещественных решений, а имеет два комплексных решения. На следующем шаге в методе решения уравнения мы рассмотрим, как найти эти комплексные решения.

Шаг 2: Определение количества решений

Если D > 0, то уравнение имеет два различных решения. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

В данном уравнении a = 1, b = 5 и c = 7. Подставим эти значения в формулу дискриминанта: D = 5² — 4 * 1 * 7 = 1.

Так как D > 0, уравнение имеет два различных решения.

Шаг 3: Вычисление корней уравнения

Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам x_1,2 = (-b ± √D) / 2a.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень, который вычисляется по формуле x = -b / 2a.

Если D < 0, то уравнение не имеет рациональных корней, так как подкоренное выражение отрицательно.

В случае уравнения x² + 5x + 7 = 0, дискриминант равен D = 5² — 4 * 1 * 7 = 25 — 28 = -3. Так как D < 0, уравнение не имеет рациональных корней.